Народився Мехмет Озгюр в місті Аланья, Анталія, 30 серпня 1970 року. Закінчив театральний факультет Стамбульського університету, навчався на мовних курсах в Анталії.

Акторська діяльність Мехмета Озгюр почалася в 1988 рік. У 1989 році він почав працювати в общинному театрі Анталії. З 1993 року і по даний час він працює в Державному театрі Анталії в якості режисера-постановника, а також приймає участь в постановках.

Вперше на телеекранах Мехмет Озгюр з'явився в 2004 році в ролі Керема в серіалі «Tarçın Konuştu». У 2012 році актор отримав пропозицію знятися в ролі Ірфана в телесеріалі «Мовчання» («Suskunlar»). Завдяки саме цій ролі, Мехмет Озгюр завоював популярність і любов глядачів, а також відмінну акторську репутацію. Крім того, він знімався в інших художніх фільмів, серіалах, а також виступав режисером театральних постановок.

У 2012 році Мехмет Озгюр знявся у фільмі «Там за горою» («Tepenin Ardı»). У 2013 році за роль Мехмета в цьому фільмі актор був удостоєний нагород «Кращий актор другого плану» на Турецькому кінофестивалі і на Кінофестиваль в Анкарі. У 2013 році Мехмет Озгюр приймав участь в зйомках серіалу «Чудовий вік» у ролі Лютфі Паші, а в даний час знімається в серіалі «Корольок - пташка співоча».